মাধ্যামিক অ্যাক্টীভিটি টাস্ক গণিত পার্ট ২ | Madhyamik mathematics Activity task 2 answer

মাধ্যমিক গণিত এর অ্যাক্টিভিটি আশা করি তোমরা ইতিমধ্যেই পেয়ে গেছো।আজকে আমরা মাধ্যমিক গণিত এর অ্যাক্টিভিটি টাস্ক এর উত্তর নিয়ে আলোচনা করব।

বাংলা (Bengali)	গণিত (Math)	ইংরেজি (English)	ইতিহাস (History)
ভূগোল	ভৌত বিজ্ঞান	জীবন বিজ্ঞান	মক টেস্ট (MCQ)

মাধ্যমিক গণিত অ্যাক্টিভিটি এর উত্তর |Madhyamik mathematics activity task answer

মাধ্যামিক অ্যাক্টীভিটি টাস্ক গণিত ২

১. বার্ষিক r% সরলসুদের হারে কোনো মুল্ধনের n বছরের মোট সুদ $\frac{pnr}{25}$ টাকা হলে , মূলধনের পরিমান কত ?

(a) 2p টাকা (b) 4p টাকা (c) $\frac{p}{2}$ টাকা (d) $\frac{p}{4}$ টাকা
উত্তরঃ আমরা জানি, $P=\frac{100I}{tr}$ যেখানে , [P= আসল বা মূলধন ,I= সুদ , t=সময় , r=সুদের হার ]
আতএব, মূলধনের পরিমান= $\frac{100\times pnr}{25\times n\times r}$ টাকা = $\frac{\overset{4}{\mathop{\not{1}\not{0}\not{0}}}\,\times p\not{n}\not{r}}{\not{2}\not{5}\times \not{n}\times \not{r}}$ টাকা = 4p টাকা। (b)
2. নিচের প্রশ্নগুলির উত্তর দাও।

(i) দুটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1:2 এবং ভুমির পরিধির অনুপাত 3:4 হলে , তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় কর ।

উত্তরঃ প্রথম চোঙের উচ্চতা : দ্বিতীয় চোঙের উচ্চতা= 1:2
অতএব, প্রথম চোঙের উচ্চতা h একক হলে দ্বিতীয় চোঙের উচ্চতা 2h একক হবে।
ধরি, প্রথম চোঙের ভুমির ব্যাসার্ধ r একক এবং প্রথম চোঙের ভুমির ব্যাসার্ধ R একক
আবার, প্রথম চোঙের ভুমির পরিধি : দ্বিতীয় ভুমির পরিধি = 3:4
অতএব, $\frac{2\prod r}{2\prod R}=\frac{3}{4}$ একক
বা, $\frac{\not{2}\not{\prod }r}{\not{2}\not{\prod }R}=\frac{3}{4}$
অর্থাৎ, r=3x একক হলে , R=4x একক হবে।
আমরা জানি, চোঙের আয়তন = $\prod {{r}^{2}}h$ = ভুমির পরিধি × উচ্চতা [r=চোঙের ভুমির ব্যাসার্ধ ,h=উচ্চতা]
অতএব, প্রথম চোঙের আয়তন=$\prod {{(3x)}^{2}}\times h$ একক হলে , প্রথম চোঙের আয়তন=$\prod {{(4x)}^{2}}\times 2h$
অতএব, প্রথম চোঙের আয়তন ÷ দ্বিতীয় চোঙের আয়তন=
=$\frac{\prod{{{(3x)}^{2}}}\times h}{\prod{{{(4x)}^{2}}}\times 2h}$
=$\frac{{\prod }9{{{\not{x}}}^{2}}\times \not{h}}{{\prod }16{{{\not{x}}}^{2}}\times 2\not{h}}$
$=\frac{9}{32}$
উত্তরঃ প্রথম চোঙ ও দ্বিতীয় চোঙের আয়তনের অনুপাত 9:32 Ans.

(ii) একটি বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও AC পরস্পর লম্ব । AB=4 cm এবং AC=3 cm হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত ?

উত্তরঃ আমরা জানি,সমকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু । চিত্র অনুযায়ী $BC=\sqrt{({{4}^{2}}+{{3}^{2}})}cm=\sqrt{25}=5cm$
$\therefore OB=\frac{5}{2}cm=2.5cm$
বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.5 cm

3. কোনো মূলধনের 2 বছরের সরল সুদ 2 চক্রবৃদ্ধি সুদ যথাক্রমে 8400 টাকা এবং 8652 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক সুদের হার নির্ণয় কর।

উত্তরঃ 2 বছরের সরল সুদ 8400 টাকা।
1 বছরের সরল সুদ $\frac{8400}{2}$ টাকা=4200 টাকা


আরও দেখুন | মাধ্যমিক গণিত অ্যাক্টিভিটি -1 এর উত্তর |Madhyamik mathematics activity task 1 Answer
চক্রবৃদ্ধির জন্য অতিরিক্ত সুদ =8652-8400 টাকা=252 টাকা
অতএব, এই 252 টাকা আসলে 4200 টাকার 1 বছরের সরল সুদ।
আমরা জানি, $r=\frac{100I}{Pt}$ যেখানে , [P= আসল বা মূলধন ,I= সুদ , t=সময় , r=সুদের হার ]
অতএব , সুদের হার$=\frac{100\times 252}{4200\times 1}$ টাকা\[=\frac{1\not{0}\not{0}\times 252}{42\not{0}\not{0}\times 1}=6%\]
আবার আমরা জানি, $P=\frac{100I}{rt}$ যেখানে , [P= আসল বা মূলধন ,I= সুদ , t=সময় , r=সুদের হার ]
অতএব, মূলধন$=\frac{100\times 4200}{6\times 1}=100\times 700=70000$ টাকা

4. যদি $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ , দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের অনুপাত 1:r হয়, তবে দেখাও যে $\frac{r+1}{r}=\frac{{{b}^{2}}}{ac}$

উত্তরঃ ধরি $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ সমীকরণটির বীজ দুটি যথাক্রমে $\alpha $ ও $r\alpha $
অতএব, বীজদ্বয়ের যোগফল$=\alpha +r\alpha =-\frac{b}{a}$
বা, $\alpha (1+r)=-\frac{b}{a}$
বা, ${{\alpha }^{2}}{{(1+r)}^{2}}={{\frac{b}{{{a}^{2}}}}^{2}}$--------(১) [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]
আবার বীজদ্বয়ের গুণফল$=\alpha \times r\alpha =\frac{c}{a}$
বা, ${{\alpha }^{2}}r=\frac{c}{a}$ --------(২)
(১) নং কে (২) নং সমীকরণ দিয়ে ভাগ করে পাই,$\frac{{{\alpha }^{2}}{{(1+r)}^{2}}}{{{\alpha }^{2}}r}=\frac{\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}}{\frac{c}{a}}$
বা, $\frac{{{(r+1)}^{2}}}{r}=\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}\times \frac{a}{c}$
$\therefore \frac{r+1}{r}=\frac{{{b}^{2}}}{ac}$ (প্রমানিত)

5. প্রমান কর ব্যাস নয় এরূপ কোন জ্যা কে যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামী কোন সরলরেখা সমদ্বিখণ্ডিত করে তাহলে ওই সরলরেখা ওই জ্যা এর উপর লম্ব হবে।

উত্তরঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাস নয় এরূপ একটি জ্যা AB এবং D, AB এর মধ্যবিন্দু অর্থাৎ AD=DB
প্রামাণ্য বিষয়ঃ $OD\bot AB$ অর্থাৎ OD, AB জ্যা এর উপর লম্ব।
অঙ্কনঃ O,A ও O,B যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ OA=OB [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
AD=BD [ বলা আছে যেহেতু D, AB এর মধ্যবিন্দু ]
OD সাধারণ বাহু ।
$\therefore \Delta OAD\simeq \Delta OBD$ [SSS শর্তানুসারে]
$\therefore \angle OAD=\angle ODA$ [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোন]
আবার যেহেতু OD , AB এর উপর দণ্ডায়মান হয়ে সমান কোন উৎপন্ন হচ্ছে,
সুতরাং $\therefore \angle OAD=\angle ODA={{90}^{\circ }}$
$\therefore OD\bot AB$ ( প্রমাণিত)

6. একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চটা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ , যদি উচ্চতা 6 গুণ হত তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘন ডেসিমি বেশী হত । চোঙটির উচ্চতা কত ?

ধরি ব্যাসার্ধ r
আতএব , উচ্চতা= 2r
অতএব, আয়তন$=\prod {{r}^{2}}(2r)$ একক $=2\prod {{r}^{3}}$ একক
কিন্তু যদি উচতা ব্যাসার্ধের 6 গুণ হলে , উচ্চতা= 6r
তখন আয়তন হত = $=\prod {{r}^{2}}(6r)$ $=6\prod {{r}^{3}}$
তখন আয়তন বেশি হত = $6\prod {{r}^{3}}-2\prod {{r}^{3}}$ $=4\prod {{r}^{3}}$
শর্তানুসারে, $4\prod {{r}^{3}}=539$
বা, $4\times \frac{22}{7}{{r}^{3}}=539$
বা, ${{r}^{3}}=\frac{\not{5}\overset{49}{\mathop{{\not{3}}}}\,\not{9}\times 7}{\not{2}\underset{2}{\mathop{{\not{2}}}}\,\times 4}$
বা, ${{r}^{3}}=\frac{{{7}^{3}}}{{{2}^{3}}}$
বা, $r=\frac{7}{2}=3.5$ ডেসিমি
Ans. চোঙটির উচ্চতা $3.5\times 2=7$ ডেসিমি