Class 10 mathematics model activity task part 7
দশম শ্রেণী গণিত মডেল অ্যাক্টিভিটি টাস্ক PART 7
ক্লাস টেন অংক
নীচের প্রশ্নগুলির উত্তর লেখ :
1. বহুমুখী উত্তরধর্মী প্রশ্ন (MCQs) :
(i) যদি $A\alpha B$হয় তাহলে
(a) ${{A}^{2}}\alpha {{B}^{3}}$ (b) ${{A}^{3}}\alpha {{B}^{2}}$ (c) $A\alpha {{B}^{3}}$ (d) ${{A}^{2}}\alpha {{B}^{2}}$
উত্তর : (d) ${{A}^{2}}\alpha {{B}^{2}}$
(ii) A এবং B একটি ব্যাবসা শুরু করে । A , 1000 টাকা 9 মাসের জন্য এবং B কিছু টাকা 6 মাসের জন্য ব্যাবসায় নিয়োজিত করে । ব্যাবসায় মোট লাভ 600 টাকা এবং B লাভের 400 টাকা পায়। ব্যাবসায় B- এর মুল্ধন –
(a) 2000 টাকা (b) 30000 টাকা (c) 4000 টাকা (d) 6000 টাকা
উত্তর : (b) 30000 টাকা
(iii) দুটি বৃত্তের ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি ও 4 সেমি। বৃত্তদুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব হলো
(a) 5.5 সেমি (b) 1.5 সেমি (c) 11 সেমি (d) 3 সেমি
উত্তর : (d) 3 সেমি
(iv) $\frac{r}{2}$ একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
(a) $\pi {{r}^{2}}$বর্গ একক (b) $\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}$ঘনএকক (c) $4\pi {{r}^{2}}$বর্গ একক (d) $\frac{1}{6}\pi {{r}^{3}}$ঘনএকক
উত্তর : (d) $\frac{1}{6}\pi {{r}^{3}}$ঘনএকক
2. সত্য/মিথ্যা লেখো (T/F) :
(i) দুটি সদৃশকোণী ত্রিভুজ সর্বদা সর্বসম।
উত্তর : বিবৃতিটি মিথ্যা (F)।
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা সর্বদা একটি সুক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহুত্রয়।
উত্তর : বিবৃতিটি মিথ্যা (F)।
(iii) একটি অংশীদারি ব্যবসায় প্রিতম, নিরজা ও তথার মূলধনের অনুপাত $\frac{1}{2}:\frac{1}{3}:\frac{1}{4}$ হলে, তাদের লাভের অনুপাত হবে 3:4:6।
উত্তর : বিবৃতিটি মিথ্যা (F)।
(iv) $a\alpha \frac{1}{b}$ এবং $b\alpha \frac{1}{c}$ হলে $a\alpha \frac{1}{c}$ হবে।
উত্তর : বিবৃতিটি মিথ্যা (F)।
3. শূন্যস্থান পূরণ করো :
(i) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে, গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল ____ হবে ।
উত্তর : 4 গুণ ।
(i) একটি ব্যবসায়ে শোভা, মাসুদের $1\frac{1}{2}$ গুণ টাকা দিয়েছিল এবং প্রিয়া, মাসুদের $2\frac{1}{2}$ গুণ টাকা দিয়েছিল। মাসুদ, শোভা এবং প্রিয়ার মূলধনের অনুপাত _____ হবে।
উত্তর : 2:3:5 ।
(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে, A বিন্দুতে অঙ্কিত বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা ____ টি।
উত্তর : 1 টি ।
4. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন :
(i) $a\alpha b,b\alpha c$এবং $c\alpha a$ হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করো।
উত্তর : $a\alpha b$
∴ $a={{k}_{1}}.b$ [ ${{k}_{1}}$ হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
আবার , $b\alpha c$
∴ $b={{k}_{2}}.c$ [ ${{k}_{2}}$ হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
আবার , $c\alpha a$
∴ $c={{k}_{3}}.a$ [ ${{k}_{3}}$ হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
তাহলে , $a={{k}_{1}}b$
বা, a= ${{k}_{1}}.{{k}_{2}}.c$
বা, a= ${{k}_{1}}.{{k}_{2}}.{{k}_{3}}.a$
বা, 1 = ${{k}_{1}}.{{k}_{2}}.{{k}_{3}}$
উত্তর : ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুনফল 1 ।
(ii) পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজটি একটি বৃত্তে পরিলিখিত এবং বৃত্তকে P, Q, R বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি AP = 4 সেমি, BP= 6 সেমি, AC = 12 সেমি এবং BC= x সেমি হয়, তাহলে x-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ A বিন্দু থেকে স্পর্শক AP ও AR এবং AP=ARAP = AR = 4 সেমি এবং AC = 12 সেমি ।
∴ CR = CQ = 8 সেমি ।
আবার , BP = BQ = 6 সেমি ।
আবার , BP=BQ=6 সেমি ।
∴ BC = BQ +CQ = 6+8 সেমি = 14 সেমি।
5. যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করো যে, বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ও ওই স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত।
উপপাদ্য : বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ও ওই স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত।
প্রদত্ত : O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P বিন্দুতে AB স্পর্শক এবং OP, P বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
প্রমাণ করতে হবে : OP ও AB স্পর্শক পরস্পর লম্ব। অর্থাৎ, $OP\bot AB$
অঙ্কন : AB স্পর্শকের উপর অপর যে-কোনো একটি বিন্দু Q নিলাম। O, Q বিন্দুদ্বয় যোগ করলাম।
প্রমাণ : স্পর্শক AB -এর উপর স্পর্শবিন্দু P ছাড়া অন্য যে-কোনো বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত।
সুতরাং, OQ বৃত্তটিকে একটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
মনে করি, ছেদবিন্দু R.
∴ OR < OQ [∵ R বিন্দু O, Q-এর মধ্যবর্তী]
আবার, OR = OP [ ∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ OP < OQ
∵ Q বিন্দু A B স্পর্শকের উপর যে-কোনো বিন্দু, সুতরাং বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে AB স্পর্শক পর্যন্ত যত সরলরেখাংশ অঙ্কন করা যায় OP তাদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম। আবার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব লম্ব দূরত্ব।
সুতরাং, $OP\bot AB$ (প্রমাণিত)